MATEMATIKA : Ilmu Deduktif

Matematika seringkali dilukiskan sebagai ilmu yang terdiri dari suatu kumpulan system matematika dimana masing-masing system mempunyai struktur yang sifatnya deduktif. Suatu system deduktif dimulai dengan memilih beberapa unsur yang tidak didefinisikan yang disebut unsur primitive. Unsur-unsur tersebut digunakan sebagai dasar komunikasi. Misalnya dalam geometri, unsur “titik” dan “lengkungan” merupakan suatu unsur yang tidak didefinisikan di semua pernyataan yang melibatkan titik dan lengkungan. Titik dianggap ada, tetapi tidak dapat dinyatakan dalam suatu kalimat dengan tepat, sebab titik itu merupakan unsur yang tidak didefinisikan. Begitu pula dengan lengkungan. Lengkungan kita peroleh (gambarnya) apabila mulai dari suatu titik kita buat suatu jalan dengan pensil (misalnya) sampai di suatu titik lain atau titik asal berangkat. Meskipun kita tidak dapat memberikan pengertian dengan tepat, tetapi kita sepakat bahwa unsur-unsur tersebut ada. Selanjutnya unsur-unsur tersebut dalam matematika (geometri) disebut unsure-unsur yang tidak didefinisikan yang eksistensinya diakui ada. Tanpa adanya suatu pemikiran seperti itu matematika tidak akan terwujud.
Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan tersebut kita rumuskan unsur-unsur yang didefinisikan, misalnya “lengkungan tertutup sederhana adalah lengkungan yang titik berangkat dan titik berhentinya sama dan tidak saling memotong”.

Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan dan unsur-unsur yang didefinisikan itu kita buat asumsi-asumsi dasar atau aksioma-aksioma. Sehubungan dengan hal itu, ET. Rusefendi menyatakan bahwa “aksioma atau postulat adalah pernyataan dasar dalam matematika yang tidak dibuktikan kebenarannya karena kebenarannya tidak disangsikan lagi”. (ET. Rusefendi, 1989 : 149). Aksioma-aksioma ini dipilih sebagai kesepakatan yang biasanya Nampak sesuai dengan pengalaman-pengalaman kita, dan merupakan pernyataan yang menunjukkan hubungan dasar diantara unsur-unsur pokok di dalam system tersebut. Berikut beberapa contoh aksioma yang lain :

1. Melalui sebuah titik sembarang ke sebuah titik sembarang lainnya dapat ditarik sebuah garis lurus.
2. Semua sudut siku-siku satu sama lain sama besar.
3. Melalui sebuah titik yang tidak terletak pada sebuah garis lurus dapat ditarik sebuah garis lurus yang sejajar dengan garis itu.

Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, unsur-unsur yang didefinisikan, dan aksioma disusunlah teori-teori atau dalil-dalil yang dapat dibuktikan kebenarannya dan berlaku umum. Misalnya “jumlah sudut-sudut sebuah segitiga besarnya”. Dalil itu tidak hanya berlaku pada segitiga kecil atau segitiga siku-siku, tetapi berlaku untuk sembarang segitiga.

Dalil-dalil yang dirumuskan itu banyak sekali. Jadi, matematika itu terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, unsur-unsur yang didefinisikan, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil, dimana dalil-dalil itu setelah dibuktikan kebenarannya, berlaku secara umum.

Setiap system deduktif adalah konsisten terhadap dirinya dan bebas dari kontradiksi terhadap dirinya. Pendekatan logis yang digunakan dalam matematika adalah kiya mulai dengan definisi-definisi dan aksioma-aksioma dan menurunkan suatu teorema yang didefinisikan sebagai suatu pernyataan yang dapat dibuktikan dengan menggunakan alasan-alasan deduktif dan kumpulan aksioma yang telah kita sepakati. Jadi kita mulai dengan daftar unsur-unsur yang tidak didefinisikan kemudian merumuskan aturan-aturan untuk menggabungkan unsur-unsur yang tidak didefinisikan tadi dan kemudian mengaplikasikan aturan-aturan itu.

Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa matematika adalah ilmu deduktif, sehingga ilmu matematika menuntut diterapkannya cara berpikir dengan penalaran deduktif, yaitu suatu proses berpikir dalam menarik suatu kesimpulan dengan menggunakan pola berpikir silogisme.