ATURAN KETERBAGIAN

Oleh: Yuliyanto

Bilangan bulat terkecil manakah yang hanya tersusun dari angka-angka genap yang habis dibagi 9? Jelaskan jawaban Anda.

Apakah Anda memerlukan waktu yang lama untuk menemukan jawaban atas pertanyaan di atas? Berapa banyak bilangan yang Anda coba? Apakah Anda menggunakan aturan keterbagian untuk menemukan jawaban tersebut? Apakah itu? Jika Anda belum memecahkan permasalahan ini, lanjutkan membaca materi berikut dan kembali lagi nanti, setelah Anda memiliki banyak “alat” untuk digunakan berkaitan dengan masalah keterbagian.

Sebagian besar siswa sekolah menengah pertama mengetahui aturan bahwa jika sebuah bilangan habis dibagi 2 maka angka terakhirnya habis dibagi 2. Aturan keterbagian untuk bilangan lainnya kurang dikenalkan kepada siswa, dan buktinya tidak diberikan. Tetapi sebagai guru Anda harus mengetahui buktinya sehingga hal itu bukan merupakan suatu misteri dan Anda dapat mengajarkannya kepada para siswa.

Terdapat beberapa aturan keterbagian yang disajikan di sini, dan meskipun di sini hanya akan dibuktikan untuk bilangan tiga angka, bukti dapat diperluas untuk bilangan dengan beberapa angka. Ingat, di sini hanya akan diberikan bukti untuk bilangan yang terdiri dari tiga angka.

Habis dibagi 2

Jika angka satuan dari bilangan bulat positif N habis dibagi 2, maka N habis dibagi 2. Sebaliknya, jika bilangan bulat positif N habis dibagi 2, maka demikian juga angka satuannya.

Bukti:

Misalkan N bilangan tiga angka dan anggaplah angka satuannya dapat dibagi 2. Maka N dapat dinyatakan dalam bentuk 100h + 10t + u. Jelas 100h + 10t dapat dibagi 2, karena kita dapat mengeluarkan faktor 2. Dengan demikian kita punyai,

N = 100h + 10t + u = (100h + 10t) + u

dengan asumsi bahwa u habis dibagi 2.

Ini berarti N merupakan jumlah dua bilangan yang habis dibagi 2. Jadi, N pasti habis dibagi 2.

Untuk membuktikan kebalikannya, tulis N = 100h + 10t + u dalam bentuk N – (100h + 10t) = u. Sekarang kita asumsikan N habis dibagi 2, dan karena (100h + 10t) jelas habis dibagi 2, maka selisihnya, yaitu u juga habis dibagi 2.

Habis dibagi 3

Jika jumlah angka-angka penyusun bilangan N habis dibagi 3, maka bilangan N habis dibagi 3. Sebaliknya, jika bilangan bulat habis dibagi 3, demikian pula jumlah angka-angka penyusunnya.

Sebagai ilustrasi mari kita selidiki ini dengan sifat bilangan 231. Kita jumlahkan angka-angka penyusunnya, yaitu 2 + 3 + 1 = 6. Karena 6 habis dibagi 3, kita tahu bahwa 231 juga demikian. Dan kita dapat mengeceknya bahwa 231/3 = 77. Sebaliknya, jika kita ambil bilangan 69, dimana kita mengetahuinya itu habis dibagi 3, kita lihat bahwa 6 + 9 = 15, juga habis dibagi 3. Sehingga jika kita ingin menentukan apakah bilangan yang sangat besar, seperti 1.235.492 habis dibagi 3 atau tidak, cukup kita jumlahkan angka-angka penyusunnya, yaitu 1 + 2 + 3 + 5 + 4 + 9 + 2 = 26. Karena 26 tidak habis dibagi 3, bilangan tersebut tidak habis dibagi 3.

Bukti:

Misalkan bilangan bulat positif N = 100h + 10t + u. Akan kita buktikan bahwa, jika jumlah angka-angka penyusunnya h + t + u habis dibagi 3, maka N habis dibagi 3.

Nyatakan N = 100h + 10t + u = 99h + h + 9t + t + u = (99h + 9t) + (h + t + u).

Jelas (99h + 9t) = 3(33h + 3t) habis dibagi 3.

Jika kita asumsikan (h + t + u) juga habis dibagi 3, maka N merupakan jumlah dua bilangan yang habis dibagi 3. Jadi, haruslah N habis dibagi 3.

Untuk membuktikan kebalikannya, nyatakan N = (99h + 9t) + (h + t + u) dalam bentuk yang setara, yaitu N – (99h + 9t) = (h + t + u).

Karena kita asumsikan N habis dibagi 3, dan (99h + 9t) jelas habis dibagi 3, maka N – (99h + 9t) pasti habis dibagi 3. Jadi, haruslah (h + t + u) juga habis dibagi 3.

Habis dibagi 4

Bilangan bulat positif N habis dibagi 4 jika dua angka terakhir penyusunnya habis dibagi 4, demikian sebaliknya.

Mari kita ilustrasikan. Untuk mengetahui bahwa bilangan 1.235.492 habis dibagi 4, perhatikan dua angka terakhir yang menyusun bilangan tersebut, yaitu 92. Karena 92 habis dibagi 4, maka bilangan 1.235.492 juga habis dibagi 4.

Bukti:

Misalkan angka-angka penyusun bilangan N adala a sebagai ribuan, b sebagai ratusan, c sebagai puluhan, dan d sebagai satuan. Maka,

N = 1000a + 100b + 10c + d = (1000a + 100b) + (10c + d).

Jelas (1000a + 100b) = 4(250a + 25b) habis dibagi 4, dan dengan asumsi bahwa (10c + d) habis dibagi 4, maka N pasti habis dibagi 4.

Bukti kebalikannya dibiarkan sebagai latihan.

Habis dibagi 5

Sebuah bilangan bulat positif N habis dibagi 5 jika angka satuannya habis dibagi 5, dan sebaliknya.

Buktinya hampir sama dengan bukti pada aturan habis dibagi 2, dan dibiarkan sebagai latihan.

Habis dibagi 6

Sebuah bilangan bulat positif N habis dibagi 6 jika bilangan itu habis dibagi 2 dan 3.

Bukti:

Jika N habis dibagi 2, maka jika kita memfaktorkannya akan memiliki faktor 2. Dengan cara serupa jika N habis dibagi 3, maka apabila kita memfaktorkannya akan memiliki faktor 3. Ini berarti apabila kita memfaktorkannya akan memiliki faktor 2 dan 3. Demikian demikian N = 2 x 3 x k = 6k untuk suatu bilangan bulat k. Ini menunjukkan bahwa N habis dibagi 6.

Pengujian habis dibagi 7 sangat rumit dan tidak banyak digunakan, sehingga tidak kita bahas di sini.

Habis dibagi 8

Sebuah bilangan bulat positif N habis dibagi 8, jika bilagan yang dibentuk oleh tiga angka terakhir penyusunnya habis dibagi 8, demikian sebaliknya.

Bukti:

Misalkan angka-angka penyusun bilangan N adala a sebagai ribuan, b sebagai ratusan, c sebagai puluhan, dan d sebagai satuan. Maka,

N = 1000a + 100b + 10c + d = 1000a + (100b + 10c + d).

Jelas 1000a = 8 x 125a habis dibagi 4, dan dengan asumsi bahwa (100b + 10c + d) habis dibagi 8, maka N pasti habis dibagi 8.

Bukti kebalikannya dibiarkan sebagai latihan.

Habis dibagi 9

Sebuah  bilangan bulat positif N habis dibagi 9, jika jumlah angka-angka penyusunnya habis dibagi 9, demikian sebaliknya.

Bukti aturan ini relatif mudah, hampir sama dengan bukti pada aturan habis dibagi 3, dan dibiarkan sebagai latihan.

Habis dibagi 11

Sebuah bilangan bulat positif N habis dibagi 11, jika jumlah angka-anga penyusunnya pada posisi ganjil dikurangi jumlah angka-angka penyusunnya pada posisi genap, habis dibagi 11.

Sebagai gambaran, bilangan 12.345.674 habis dibagi 11, karena (1 + 3 + 5 + 7) – (2 + 4 + 6 + 4) = 16 – 16 = 0, habis dibagi 11. (Gunakan kalkulator untuk mengeceknya).

Terdapat beberapa contoh menarik pada keterbagian oleh 9, seperti pada contoh berikut.

Contoh 1

Bilangan bulat positif c, tersusun oleh N buah angka 1 dan hanya N buah angka 1. Bilangan terkecil c manakah yang habis dibagi 9?

Penyelesaian:

Agar habis dibagi 9, angka-angka penyusun bilangan tersebut harus habis dibagi 9. Karena bilangan tersebut hanya tersusun oleh angka 1, kita memerlukan 9 buah. Jadi, bilangan tersebut adalah c = 111.111.111.

Contoh 2

Cobalah trik berikut dengan temanmu. Beritahu mereka untuk melakukan hal berikut. Ambil sebuah bilangan tiga angka dan acak angka penyusunnya. Kurangkan bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lebih besar. Coretlah angka bukan nol pada hasil yang diperoleh dan jumlahkan angka yang tersisa. Jika mereka memberitahu jumlah angka-angka tersebut, maka Anda bisa menyebutkan angka yang mereka coret. Misalkan mereka mengatakan bahwa jumlahnya 7, Anda dapat memberitahu mereka bahwa angka yang dicoret adalah 2. Jika mereka membertitahu bahwa jumlahnya 12, Anda dapat membertitahu mereka bahwa angka yang dicoret adalah 6. Bagaimanakah Anda melakukannya?

Penyelesaian:

Pada contoh 6 dalam artikel sebelumnya mengenai bilangan genap, ganjil, dan hubungan keterbagian, kita tahu bahwa jika kita ambil sebarang bilangan tiga angka dan mengacak angka-angkanya, hasil pengurangan bilangan yang kecil dari bilangan yang lebih besar habis dibagi 9. Meskipun dalam hal ini kita hanya menyampaikan untuk bilangan tiga angka, hal itu berlaku bilangan berapapun, dan buktinya pada dasarnya hampir sama.

Diketahui bahwa selisih bilangan semula dan pengacakannya habis dibagi 9 berarti jumlah angka-angka dari bilangan yang dihasilkan harus habis dibagi 9. Sehingga, apabila Anda mencoret angka bukan nol dan jumlah angka-angka sisanya adalah 12, maka yang Anda coret haruslah 6, karena jumlah semua angka dari bilanga yang dihasilkan harus habis kelipatan 9, dan 18 adalah bilangan kelipatan 9 berikutnya. Begitu pula apabila jumlah angka-anganya adalah 7, maka yang Anda coret adalah angka 2, karena bilangan kelipatan 9 berikutnya yang terdekat dengan 7 adalah 9.

Bagaimanakah dengan jawaban atas pertanyaan di awal artikel ini? Bilangan bulat terkecil manakah yang hanya tersusun dari angka-angka genap yang habis dibagi 9?

Kita ingat bahwa sebuah bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah angka-angka penyusunnya habis dibagi 9 atau merupakan kelipatan 9. Jika angka-angka penyusunnya semua bilangan genap, tidak mungkin jumlahnya merupakan bilangan ganjil. Sehingga bilangan tersebut jumlah angka-angka penyusunnya haruslah 18 (bilangan genap kelipatan 9 terkecil). Kemungkinan bilangan yang memenuhi syarat tersebut tersusun dari angka-angka genap 2, 4, 6, atau 8. Untuk bilangan dengan dua angka tersebut tidak mungkin terjadi, sehingga bilangan tersebut tersusun dari tiga angka, dan yang paling kecil adalah 288. 

Jadi, bilangan dimaksud adalah 288.

 

Artikel diadaptasi dan dimodifikasi dari “Basics of Number Theory” dalam buku “The Mathematics That Every Secondary School  Math Teacher Needs To Know”, Second Edition, Alan Sutan dan Alice F., Routledge, 2018, halaman 35 – 38.