BILANGAN GENAP, GANJIL, DAN HUBUNGAN KETERBAGIAN

 Oleh: Yuliyanto

Apakah bilangan genap itu? Kita telah mengetahui bilangan seperti 2, 4, 6, dan seterusnya merupakan bilangan genap. Tetapi bagaimanakah definisi bilangan genap sehingga apabila kita akan membuktikan sesuatu tentang mereka, kita bisa? Terdapat beberapa cara untuk mendefinisikannya, tetapi cara yang paling sederhana adalah dengan cara menyatakannya sebagai dua kali dari suatu bilangan bulat lainnya.

Sebagai contoh, 2 = 2 x 1, 4 = 2 x 2, dan seterusnya. Hal ini dapat memberikan petunjuk kepada kita tentang definisi bilangan genap. Sebuah bilangan genap adalah setiap bilangan bulat yang dapat dinyatakan sebagai kelipatan dua dari suatu bilangan bulat lainnya. Dengan demikian, N adalah bilangan genap jika N = 2k untuk suatu bilangan bulat k. Hal ini memberikan petunjuk kepada kita, bahwa bilangan ganjil adalah satu lebihnya dari suatu bilangan genap. Jadi, bilangan bulat N adalah ganjil jika N = 2k + 1 untuk suatu bilangan bulat k. 

Berdasarkan definisi mengenai bilangan genap dan ganjil di atas, kita dapat menurunkan teorema berikut.

Teorema 1

(a)    Jumlah dua buah bilangan genap merupakan bilangan genap.

(b)    Jumlah dua buah bilangan ganjil merupakan bilangan genap.

(c)     Hasil kali dua buah bilangan ganjil merupakan bilangan ganjil.

(d)  Jika sebuah bilangan genap dikalikan dengan sebuah bilangan bulat, hasilnya merupakan bilangan genap.

Bukti:

Saya tidak akan memberikan semua bukti teorema tersebut, tetapi saya hanya akan memberikan bukti untuk butir (a) dan (c). Bukti (b) dan (d) dapat Anda kerjakan sebagai pelajaran yang bermanfaat.

(a) Andaikan M dan N adalah bilangan-bilangan genap. Maka berdasarkan definisi bilangan genap, masing-masing merupakan dua kalinya dari suatu bilangan bulat. Dengan demikian M = 2k dan N = 2l untuk suatu bilangan bulat k dan l. Kita akan membuktikan bahwa jumlah keduanya merupakan bilangan genap, dan ini berarti jumlahnya juga dapat dinyatakan sebagai dua kalinya dari suatu bilangan bulat. Kita kerjakan ini sebagai berikut:

M + N = 2k + 2l = 2(k + l)

dan kita telah menyelesaikannya. Kita telah menunjukkan bahwa M + N sama dengan dua kalinya dari bilangan bulat k + l.

(c)  Andaikan M dan N adalah bilangan-bilangan ganjil. Maka berdasarkan definisi bilangan ganjil, masing-masing dapat dinyatakan sebagai satu lebihnya dari suatu bilangan genap. Dengan demikian, M = 2k + 1 dan N = 2l + 1 untuk suatu bilangan bulat k dan l. Akan kita buktikan bahwa MN merupakan bilangan ganjil. Yaitu, dapat dinyatakan dalam bentuk 2m + 1 untuk suatu bilangan bulat m. Tetapi

MN = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2l + 2k + 1 = 2(2kl + l + k) + 1 = 2m + 1

dimana m = 2kl + l + k. Jadi, hasil kali dua buah bilangan ganjil merupakan bilangan ganjil.

Kita dapat memecahkan beberapa masalah yang sangat sulit hanya dengan mempertimbangkan jumlah bilangan-bilangan yang terlibat ganjil atau genap. Berikut beberapa contoh untuk siswa pada jenjang SMP.

Contoh 1

Diantara pasangan (x, y) berikut, hanya satu yang tidak memenuhi persamaan 187x – 104y = 41. Manakah itu? (107, 92), (211, 379), (314, 565), (419, 753), (523, 940)

Penyelesaian

Penyelesaian cepat akan dilakukan sebagai berikut: 104y merupakan bilangan genap (mengapa?). Tambahkan 104y pada kedua ruas persamaan 187x – 104y = 41 untuk memperoleh 187x = 104y + 41. Ruas kanan persamaan ini, menjadi penjumlahan sebuah bilangan genap dan bilangan ganjil, yang merupakan bilangan ganjil. Dengan demikian, ruas kiri persamaan, 187x haruslah bilangan ganjil. Ini menghilangkan pasangan dengan koordinat x 314, karena 187 kali 314 merupakan bilangan genap. Jadi, (314, 565) tidak memenuhi.

Contoh 2

Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat k, (2k + 1)² – (2k – 1)² habis dibagi 8.

Penyelesaian

Dengan menguadratkan bentuk dalam tanda kurung dan menyederhanakannya, kita peroleh:

(2k + 1)² – (2k – 1)² = (4k² + 4k + 1) – (4k² – 4k + 1) = 4k² + 4k + 1 – 4k² + 4k – 1 = 8k

Jelas hasil terakir itu habis dibagi 8.

Contoh 3

Seorang wanita membeli apel dengan harga Rp3.000,00 per kg dan jeruk dengan harga Rp6.000,00 per kg. Dia membayar dengan selembar uang seratus ribuan dan menerima kembalian Rp12.000,00. Apakah dia menerima kembalian yang benar?

Penyelesaian

Jika wanita itu membeli x kg apel dan y kg jeruk dengan x dan y keduanya bulat, total harganya dapat dinyatakan dalam bentuk 3.000x + 6.000y = 88.000 atau dapat kita sederhanakan menjadi 3x + 6y = 88. Jelas ruas kiri persamaan dapat dibagi dengan 3, tetapi ruas kanan, 88 tidak bisa dibagi 3. Ini berarti 3x + 6y tidak mungkin bernilai 88. Oleh karena itu tidak mungkin wanita itu membayar sebesar Rp88.000,00 untuk pembelian buahnya. Jadi, kembalian yang diterima itu tidak mungkin benar.

Teorema 2

Jika M dan N masing-masing habis dibagi a, maka demikian pula M + N dan M – N. Secara umum: Jumlah dan/atau selisih kumpulan bilangan yang masing-masing habis dibagi a, juga habis dibagi a.

Bukti: 

Tulis M =aP dan M = aQ untuk suatu a, P, dan Q bilangan bulat. Jelas M + N = aP + aQ = a(P + Q) dan M – N = aP – aQ = a(P – Q) juga habis dibagi a.

 Contoh 4

Tunjukkan bahwa satu-satunya bilangan bulat n yang habis membagi bilangan bulat a dan a + 1 adalah 1.

Penyelesaian

Karena n habis membagi a dan a + 1, maka n juga habis membagi selisihnya, yaitu (a + 1) – a = 1. Tetapi satu-satunya bilangan bulat positif yang habis membagi 1 adalah 1. Jadi, n = 1.

Teorema 3

Jika M habis dibagi a, dan N sebarang bilangan bulat, maka MN habis dibagi a.

Bukti

Akan kita buktikan bahwa MN = ak untuk suatu bilangan bulat k. Karena M habis dibagi a, maka M = am untuk suatu bilangan bulat m. Ini berarti MN = amN = ak, dimana k = mN. Dengan demikian, MN habis dibagi a.

Contoh 5

Diketahui sebuah bilangan dua angka. Jika angka-angka pada bilangan itu dibalik, hasilnya adalah 9 lebihnya dari bilangan semula. Jumlah bilangan semula dan bilangan yang dibalik adalah 55. Temukan bilangan semula.

Penyelesaian

Misalkan t adalah angka puluhan dan u angka satuan dari bilangan semula, maka bilangan itu dapat dinyatakan dalam bentuk 10t + u. Jika angka-angkanya dibalik, maka t menjadi angka satuan dan u menjadi angka puluhan, sehingga diperoleh bilangan 10u + t. Diketahui bahwa 10u + t = 10t + u + 9, sehingga diperoleh,

10u + t – (10t + u) = 10t + u – (10u + t) + 9 atau 9u – 9t = 9, yang setara dengan u – t = 1 (1).

Diketahui juga bahwa jumlah kedua bilangan tersebut adalah 55, maka

10t + u + 10u + t = 55, atau 11u + 11t = 55 yang setara dengan u + t = 5 (2).

Jumlahkan (1) dan (2) diperoleh 2u = 6 dan u = 3 (3).

Gantikan (3) ke (1) diperoleh 3 – t = 1 yang mengasilkan t = 2.

Jadi bilangan tersebut adalah 23.

Contoh 6

Tunjukkan bahwa jika kita mengambil bilangan tiga angka sebarang dan mengacak angka-angkanya, kemudian mengurangkan bilangan yang lebih kecil dari bilangan terbesar, hasilnya akan selalu habis dibagi 9.

Penyelesaian

Misalkan angka ratusan dari bilangan itu p, angka puluhannya q, dan angka satuannya r, maka bilangan itu dapat dinyatakan dalam bentuk 100p + 10q + r. Selanjutnya misalkan bilangan hasil pengacakan itu angka ratusannya r, angka puluhannya p dan angka satuannya q. Sehingga bilangan hasil pengacakan ini dapat dinyatakan dalam bentuk 100r + 10p + q. Misalkan bilangan semula adalah yang terbesar, maka hasil pengurangan kedua bilangan itu adalah 100p + 10q + r – (100r + 10p + q) = 99p – 9q – 99r = 9(11p – q – 11r), merupakan bilangan yang habis dibagi 9.

Bukti serupa juga berlaku untuk setiap pengacakan angka-angka pada bilangan tersebut. Dengan demikian selesailah pembuktian kita.

 

Artikel diadaptasi dan dimodifikasi dari “Basics of Number Theory” dalam buku “The Mathematics That Every Secondary School  Math Teacher Needs To Know”, Second Edition, Alan Sutan dan Alice F., Routledge, 2018, halaman 28 – 33.